محاسبهگر رایگان کسر. کسرها را جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کنید، به کوچکترین شکل ساده کنید و اعداد اعشاری را به کسر و عدد مخلوط تبدیل کنید.
محاسبهگر کسر، کسرها را جمع، تفریق، ضرب و تقسیم میکند و نتیجه را بهصورت سادهشده در کوچکترین حالت، عدد مخلوط و عدد اعشاری برمیگرداند. برای جمع کسرها، ابتدا آنها را به مخرج مشترک تبدیل کنید: ۱/۲ + ۳/۴ = ۲/۴ + ۳/۴ = ۵/۴ = ۱ و ۱/۴. برای تقسیم، در معکوس کسر دوم ضرب کنید.
آخرین بهروزرسانی:
محاسبهگر کسر
محاسبهگر کسر چهار عملیات پایه را روی کسرها انجام میدهد و همیشه پاسخ را در سه شکل مفید برمیگرداند: کسری سادهشده به کوچکترین حالت، یک عدد مخلوط زمانی که نتیجه ناحقیقی باشد، و یک عدد اعشاری. یک کسر بهسادگی یک تقسیم است که بهصورت عمودی نوشته شده — ۳/۴ یعنی ۳ تقسیم بر ۴ — با صورت در بالا و مخرج در پایین.
ضرب سادهترین عملیات است: صورتها را در هم و مخرجها را در هم ضرب کنید. پس ۲/۳ × ۳/۵ = ۶/۱۵، که به ۲/۵ ساده میشود. تقسیم با معکوس کردن کسر دوم و ضرب انجام میشود: ۱/۲ ÷ ۳/۴ = ۱/۲ × ۴/۳ = ۴/۶ = ۲/۳. جمع و تفریق به یک مرحله اضافی نیاز دارند — مخرج مشترک — که بیشتر اشتباهات در آنجا رخ میدهد و راهنمای گامبهگام محاسبهگر بیشترین کاربرد را دارد.
مخرجهای مشترک
اشتباه: جمع ۱/۲ + ۳/۴ بهصورت (۱+۳)/(۲+۴) = ۴/۶. این پاسخ اشتباه است، زیرا نصفها و چهارمها قطعات با اندازه متفاوتی هستند — نمیتوان آنها را با هم شمرد تا زمانی که در واحدهای یکسان بیان شوند.
محاسبه صحیح: ابتدا هر دو کسر را بر مخرج مشترک بازنویسی کنید. نصفها به چهارم تبدیل میشوند: ۱/۲ = ۲/۴. حالا قطعات با هم مطابقت دارند، پس ۲/۴ + ۳/۴ = ۵/۴، که همان عدد مخلوط ۱ و ۱/۴ یا ۱.۲۵ بهصورت اعشاری است. محاسبهگر از حاصلضرب دو مخرج بهعنوان مخرج مشترک استفاده میکند و سپس نتیجه را ساده میکند، که همیشه همان پاسخ نهایی بهدستآمده از کوچکترین مضرب مشترک را تولید میکند.
تفریق از الگوی مشابهی پیروی میکند: ۵/۶ − ۱/۴ = ۱۰/۱۲ − ۳/۱۲ = ۷/۱۲. چون مخرج مشترک میتواند اعداد میانی بزرگی ایجاد کند، همیشه در پایان ساده کنید نه اینکه سعی کنید شکل کاهشیافته را در میانه محاسبه حدس بزنید.
کوچکترین حالت
یک کسر زمانی کاملاً ساده است که صورت و مخرج آن هیچ عامل مشترکی بزرگتر از ۱ نداشته باشند. راه مطمئن رسیدن به این حالت، تقسیم هر دو بر بزرگترین مقسومعلیه مشترک (GCD) آنهاست. برای ۸/۱۲، GCD اعداد ۸ و ۱۲ برابر ۴ است، پس ۸/۱۲ = ۲/۳. برای ۴۵/۶۰، GCD برابر ۱۵ است که ۳/۴ میدهد.
ساده کردن هرگز مقدار یک کسر را تغییر نمیدهد — ۸/۱۲، ۴/۶ و ۲/۳ همگی دقیقاً همان عدد هستند — فقط شکل نوشتن آن را تغییر میدهد. کوچکترین حالت شکل نهایی متعارف است زیرا مقایسه کسرها را آسان میکند: دیدن اینکه ۲/۳ در نگاه اول از ۳/۵ بزرگتر است بسیار آسانتر از مقایسه ۴۰/۶۰ با ۳۶/۶۰ است. علامت منفی طبق قرارداد در صورت نوشته میشود، پس ۳/−۴ به −۳/۴ تبدیل میشود.
یک راه سریع برای یافتن GCD با دست، الگوریتم اقلیدسی است: بهطور مکرر عدد بزرگتر را با باقیمانده تقسیم آن بر عدد کوچکتر جایگزین کنید تا باقیمانده صفر شود. برای ۸ و ۱۲: ۱۲ ÷ ۸ باقیمانده ۴ میدهد، سپس ۸ ÷ ۴ باقیمانده ۰ میدهد، پس GCD برابر ۴ است. محاسبهگر همین الگوریتم را فوراً اعمال میکند، صرفنظر از بزرگی اعداد.
اعداد مخلوط
زمانی که یک محاسبه صورتی حداقل بهاندازه مخرج تولید کند — یک کسر ناحقیقی مانند ۵/۴ یا ۱۱/۳ — میتوان آن را بهصورت یک عدد مخلوط بازنویسی کرد: جزء صحیح بهعلاوه یک کسر حقیقی. صورت را بر مخرج تقسیم کنید؛ خارجقسمت جزء صحیح است و باقیمانده روی همان مخرج میماند. پس ۵/۴ = ۱ و ۱/۴ و ۱۱/۳ = ۳ و ۲/۳.
هر دو شکل از نظر ریاضی درست هستند. اعداد مخلوط انتخاب طبیعی برای اندازهگیریهای روزمره هستند — یک دستور غذا ۱ و ۱/۲ فنجان میخواهد، نه ۳/۲ فنجان — در حالی که کسرهای ناحقیقی داخل یک محاسبه بسیار راحتترند، زیرا ضرب یا تقسیم مستقیم اعداد مخلوط مستعد خطاست. یک روش کار خوب این است که اعداد مخلوط را پیش از محاسبه به کسر ناحقیقی تبدیل کنید و فقط در پایان به شکل مخلوط بازگردید، که دقیقاً همان کاری است که این محاسبهگر برای شما انجام میدهد.
اعداد اعشاری
هر عدد اعشاری پایانپذیر با نوشتن آن روی یک توان ده و ساده کردن به کسر تبدیل میشود: ۰.۷۵ = ۷۵/۱۰۰ = ۳/۴ و ۰.۱۲۵ = ۱۲۵/۱۰۰۰ = ۱/۸. اعداد اعشاری تکراری نیز کسرهای دقیقی هستند — ۰.۳۳۳… دقیقاً ۱/۳ است و ۰.۱۶۶۶… دقیقاً ۱/۶ است — اما ترفند توان ده نمیتواند آنها را از یک ورودی کوتاهشده بگیرد.
به همین دلیل این محاسبهگر بهجای آن از الگوریتم کسر پیوسته استفاده میکند: بهترین کسر ممکن با مخرج تا ۱۰,۰۰۰ را مییابد، بنابراین تایپ ۰.۳۳۳۳۳۳ بهجای ۳۳۳۳۳۳/۱۰۰۰۰۰۰، عدد ۱/۳ را برمیگرداند و ۰.۱۴۲۸۵۷ بهصورت زیبای ۱/۷ برمیگردد. همین روش برای اعداد گنگ نیز تقریبهای فشرده و معناداری ارائه میدهد که اصلاً کسر دقیقی ندارند. زمانی که هیچ کسری با مخرج تا ۱۰,۰۰۰ دقیقاً با عدد اعشاری مطابقت نداشته باشد، محاسبهگر یادآوری میکند که نتیجه یک تقریب است.
کاربردهای عملی
آشپزی و شیرینیپزی
بزرگ یا کوچک کردن یک دستور غذا — نصف ۳/۴ فنجان، یا ۱ و ۱/۲ برابر ۲/۳ فنجان — بدون خطای اندازهگیری.
نجاری و کارهای دستی
جمع اندازهگیریهای اینچی مانند ۳/۸ اینچ + ۵/۱۶ اینچ هنگام برش مواد یا فاصلهگذاری قطعات.
بررسی تکالیف
تأیید هر مرحله از محاسبات کسری، از جمله مخرج مشترک و پاسخ نهایی سادهشده.
تبدیل اندازهگیریها
تبدیل یک عدد اعشاری از کولیس دیجیتال یا ماشینحساب به یک کسر قابلاستفاده روی متر نواری.
تقسیم مقادیر
تقسیم سهمها، مواد یا زمان به سهمهای کسری مساوی و بیان واضح نتیجه.
هر دو کسر را به مخرج مشترک تبدیل کنید، سپس صورتها را جمع یا تفریق کنید. برای ۱/۲ + ۳/۴، مخرج مشترک ۴ است: ۱/۲ تبدیل به ۲/۴ میشود، بنابراین ۲/۴ + ۳/۴ = ۵/۴، که به عدد مخلوط ۱ و ۱/۴ ساده میشود. محاسبهگر از حاصلضرب مخرجها استفاده کرده و سپس نتیجه را بهطور خودکار به کوچکترین حالت ساده میکند.
کسر اول را در معکوس (شکل وارونه) کسر دوم ضرب کنید. مثلاً ۱/۲ ÷ ۳/۴ = ۱/۲ × ۴/۳ = ۴/۶، که به ۲/۳ ساده میشود. تقسیم بر کسری برابر با صفر تعریفنشده است، به همین دلیل محاسبهگر زمانی که صورت کسر B برابر ۰ باشد خطا نشان میدهد.
یک کسر زمانی در کوچکترین حالت است که صورت و مخرج آن هیچ عامل مشترکی غیر از ۱ نداشته باشند. برای ساده کردن، هر دو را بر بزرگترین مقسومعلیه مشترک (GCD) خود تقسیم کنید. برای ۸/۱۲، GCD برابر ۴ است، بنابراین ۸/۱۲ = ۲/۳. کسرهای سادهشده مقایسه راحتتری دارند و شکل استانداردی هستند که در بیشتر کلاسهای ریاضی انتظار میرود.
یک کسر ناحقیقی صورتی بزرگتر (یا مساوی) مخرج خود دارد، مانند ۵/۴. یک عدد مخلوط همان مقدار را بهصورت جزء صحیح بهعلاوه یک کسر حقیقی مینویسد: ۵/۴ = ۱ و ۱/۴. هر دو درست هستند؛ اعداد مخلوط در متنهای روزمره خواناتر هستند، در حالی که کسرهای ناحقیقی برای محاسبه راحتترند.
عدد اعشاری را بر یک توان ده بنویسید و ساده کنید: ۰.۷۵ = ۷۵/۱۰۰ = ۳/۴. این محاسبهگر از روش کسر پیوسته استفاده میکند که بهترین کسر با مخرج تا ۱۰,۰۰۰ را مییابد — بنابراین اعداد اعشاری تکراری را نیز بهخوبی مدیریت میکند و ۰.۳۳۳۳۳۳ را بهجای یک عدد دستوپاگیر مانند ۳۳۳۳۳۳/۱۰۰۰۰۰۰، به ۱/۳ تبدیل میکند.
هر عدد اعشاری پایانپذیر یا تکراری یک عدد گویا است و کسر دقیقی دارد. اعداد گنگ مانند پی یا ریشه دوم ۲ چنین نیستند — برای آنها هر کسری فقط یک تقریب است. محاسبهگر نتایج را زمانی که هیچ کسری با مخرج تا ۱۰,۰۰۰ دقیقاً با عدد اعشاری مطابقت نداشته باشد، بهعنوان تقریب علامتگذاری میکند.