Bruchrechner

Ein Bruchrechner führt die vier Grundrechenarten mit Brüchen aus und liefert die Antwort stets in drei nützlichen Formen: als vollständig gekürzten Bruch, als gemischte Zahl bei unechten Ergebnissen und als Dezimalzahl. Ein Bruch ist schlicht eine senkrecht geschriebene Division — 3/4 bedeutet 3 geteilt durch 4 — mit dem Zähler oben und dem Nenner unten.

Die Multiplikation ist die einfachste Rechenart: Multiplizieren Sie die Zähler miteinander und die Nenner miteinander. So ist 2/3 × 3/5 = 6/15, was gekürzt 2/5 ergibt. Die Division funktioniert, indem man den zweiten Bruch umdreht und multipliziert: 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 4/6 = 2/3. Addition und Subtraktion brauchen einen zusätzlichen Schritt — den gemeinsamen Nenner —, und genau dort passieren die meisten Fehler und ist die Schritt-für-Schritt-Anzeige des Rechners am nützlichsten.

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. Der zuverlässige Weg dorthin: Teilen Sie beide durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Bei 8/12 ist der ggT von 8 und 12 gleich 4, also 8/12 = 2/3. Bei 45/60 ist der ggT 15, was 3/4 ergibt.

Kürzen verändert nie den Wert eines Bruchs — 8/12, 4/6 und 2/3 sind alle exakt dieselbe Zahl —, sondern nur die Schreibweise. Die vollständig gekürzte Form ist die übliche Endform, weil sie Brüche leicht vergleichbar macht: Auf einen Blick zu sehen, dass 2/3 größer ist als 3/5, ist weit einfacher, als 40/60 mit 36/60 zu vergleichen. Negative Vorzeichen werden per Konvention beim Zähler geschrieben, aus 3/−4 wird also −3/4.

Ein schneller Weg, den ggT von Hand zu finden, ist der euklidische Algorithmus: Ersetzen Sie wiederholt die größere Zahl durch den Rest ihrer Division durch die kleinere, bis der Rest null ist. Für 8 und 12: 12 ÷ 8 lässt Rest 4, dann lässt 8 ÷ 4 Rest 0 — der ggT ist also 4. Der Rechner wendet denselben Algorithmus blitzschnell an, egal wie groß die Zahlen sind.

Jede endliche Dezimalzahl wird zum Bruch, indem man sie über eine Zehnerpotenz schreibt und kürzt: 0,75 = 75/100 = 3/4 und 0,125 = 125/1000 = 1/8. Auch periodische Dezimalzahlen sind exakte Brüche — 0,333… ist exakt 1/3 und 0,1666… ist exakt 1/6 —, doch der Zehnerpotenz-Trick kann sie aus einer abgeschnittenen Eingabe nicht erfassen.

Deshalb verwendet dieser Rechner stattdessen den Kettenbruchalgorithmus: Er findet den bestmöglichen Bruch mit einem Nenner bis 10.000, sodass die Eingabe 0,333333 den Bruch 1/3 liefert statt 333333/1000000, und 0,142857 als elegantes 1/7 zurückkommt. Dieselbe Methode liefert kompakte, aussagekräftige Näherungen für irrationale Zahlen, die gar keinen exakten Bruch haben. Wenn kein Bruch mit einem Nenner bis 10.000 exakt zur Dezimalzahl passt, weist der Rechner darauf hin, dass das Ergebnis eine Näherung ist.