Kostenloser Bruchrechner. Addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Sie Brüche, kürzen Sie vollständig und wandeln Sie Dezimalzahlen in Brüche um.
Ein Bruchrechner addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert Brüche und liefert das Ergebnis vollständig gekürzt, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl. Zum Addieren bringen Sie die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner: 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4. Zum Dividieren multiplizieren Sie mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.
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Bruchrechner
Ein Bruchrechner führt die vier Grundrechenarten mit Brüchen aus und liefert die Antwort stets in drei nützlichen Formen: als vollständig gekürzten Bruch, als gemischte Zahl bei unechten Ergebnissen und als Dezimalzahl. Ein Bruch ist schlicht eine senkrecht geschriebene Division — 3/4 bedeutet 3 geteilt durch 4 — mit dem Zähler oben und dem Nenner unten.
Die Multiplikation ist die einfachste Rechenart: Multiplizieren Sie die Zähler miteinander und die Nenner miteinander. So ist 2/3 × 3/5 = 6/15, was gekürzt 2/5 ergibt. Die Division funktioniert, indem man den zweiten Bruch umdreht und multipliziert: 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 4/6 = 2/3. Addition und Subtraktion brauchen einen zusätzlichen Schritt — den gemeinsamen Nenner —, und genau dort passieren die meisten Fehler und ist die Schritt-für-Schritt-Anzeige des Rechners am nützlichsten.
Gemeinsame Nenner
Der Fehler: 1/2 + 3/4 als (1+3)/(2+4) = 4/6 zu rechnen. Diese Antwort ist falsch, weil Hälften und Viertel unterschiedlich große Stücke sind — man kann sie erst zusammenzählen, wenn sie in denselben Einheiten ausgedrückt sind.
Die korrekte Rechnung: Schreiben Sie beide Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner um. Aus Hälften werden Viertel: 1/2 = 2/4. Jetzt passen die Stücke zusammen, also 2/4 + 3/4 = 5/4 — das ist die gemischte Zahl 1 1/4 bzw. 1,25 als Dezimalzahl. Der Rechner verwendet das Produkt der beiden Nenner als gemeinsamen Nenner und kürzt anschließend das Ergebnis, was immer dieselbe Endantwort liefert wie das kleinste gemeinsame Vielfache.
Die Subtraktion folgt dem identischen Muster: 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12. Da der gemeinsame Nenner die Zwischenzahlen groß werden lassen kann, kürzen Sie stets am Ende, statt die gekürzte Form mitten in der Rechnung erraten zu wollen.
Vollständig kürzen
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. Der zuverlässige Weg dorthin: Teilen Sie beide durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Bei 8/12 ist der ggT von 8 und 12 gleich 4, also 8/12 = 2/3. Bei 45/60 ist der ggT 15, was 3/4 ergibt.
Kürzen verändert nie den Wert eines Bruchs — 8/12, 4/6 und 2/3 sind alle exakt dieselbe Zahl —, sondern nur die Schreibweise. Die vollständig gekürzte Form ist die übliche Endform, weil sie Brüche leicht vergleichbar macht: Auf einen Blick zu sehen, dass 2/3 größer ist als 3/5, ist weit einfacher, als 40/60 mit 36/60 zu vergleichen. Negative Vorzeichen werden per Konvention beim Zähler geschrieben, aus 3/−4 wird also −3/4.
Ein schneller Weg, den ggT von Hand zu finden, ist der euklidische Algorithmus: Ersetzen Sie wiederholt die größere Zahl durch den Rest ihrer Division durch die kleinere, bis der Rest null ist. Für 8 und 12: 12 ÷ 8 lässt Rest 4, dann lässt 8 ÷ 4 Rest 0 — der ggT ist also 4. Der Rechner wendet denselben Algorithmus blitzschnell an, egal wie groß die Zahlen sind.
Gemischte Zahlen
Wenn eine Rechnung einen Zähler ergibt, der mindestens so groß ist wie der Nenner — einen unechten Bruch wie 5/4 oder 11/3 —, lässt er sich als gemischte Zahl umschreiben: ein ganzer Teil plus ein echter Bruch. Teilen Sie den Zähler durch den Nenner; der Quotient ist der ganze Teil, und der Rest bleibt über demselben Nenner stehen. So ist 5/4 = 1 1/4 und 11/3 = 3 2/3.
Beide Formen sind mathematisch korrekt. Gemischte Zahlen sind die natürliche Wahl für Alltagsmaße — ein Rezept verlangt 1 1/2 Tassen, nicht 3/2 Tassen —, während unechte Brüche innerhalb einer Rechnung deutlich praktischer sind, denn das direkte Multiplizieren oder Dividieren gemischter Zahlen ist fehleranfällig. Ein guter Arbeitsablauf: Gemischte Zahlen vor dem Rechnen in unechte Brüche umwandeln und erst am Ende in die gemischte Form zurück — genau das erledigt dieser Rechner für Sie.
Dezimalzahlen
Jede endliche Dezimalzahl wird zum Bruch, indem man sie über eine Zehnerpotenz schreibt und kürzt: 0,75 = 75/100 = 3/4 und 0,125 = 125/1000 = 1/8. Auch periodische Dezimalzahlen sind exakte Brüche — 0,333… ist exakt 1/3 und 0,1666… ist exakt 1/6 —, doch der Zehnerpotenz-Trick kann sie aus einer abgeschnittenen Eingabe nicht erfassen.
Deshalb verwendet dieser Rechner stattdessen den Kettenbruchalgorithmus: Er findet den bestmöglichen Bruch mit einem Nenner bis 10.000, sodass die Eingabe 0,333333 den Bruch 1/3 liefert statt 333333/1000000, und 0,142857 als elegantes 1/7 zurückkommt. Dieselbe Methode liefert kompakte, aussagekräftige Näherungen für irrationale Zahlen, die gar keinen exakten Bruch haben. Wenn kein Bruch mit einem Nenner bis 10.000 exakt zur Dezimalzahl passt, weist der Rechner darauf hin, dass das Ergebnis eine Näherung ist.
Praktische Anwendungsfälle
Kochen und Backen
Ein Rezept hoch- oder herunterskalieren — die Hälfte von 3/4 Tasse oder das 1 1/2-Fache von 2/3 Tasse — ohne Messfehler.
Holzarbeiten und Heimwerken
Imperiale Maße wie 3/8 in + 5/16 in addieren, wenn Sie Material zuschneiden oder Beschläge ausrichten.
Hausaufgaben kontrollieren
Jeden Schritt der Bruchrechnung überprüfen — inklusive gemeinsamem Nenner und vollständig gekürzter Endantwort.
Maße umrechnen
Eine Dezimalzahl vom digitalen Messschieber oder Taschenrechner zurück in einen brauchbaren Zollstock-Bruch verwandeln.
Mengen aufteilen
Portionen, Material oder Zeit in gleiche Bruchteile teilen und das Ergebnis sauber ausdrücken.
Bringen Sie beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren oder subtrahieren Sie dann die Zähler. Bei 1/2 + 3/4 ist der gemeinsame Nenner 4: Aus 1/2 wird 2/4, also 2/4 + 3/4 = 5/4, was gekürzt der gemischten Zahl 1 1/4 entspricht. Der Rechner verwendet das Produkt der Nenner und kürzt das Ergebnis anschließend automatisch vollständig.
Multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem Kehrwert (der umgedrehten Version) des zweiten. Beispiel: 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 4/6, was gekürzt 2/3 ergibt. Die Division durch einen Bruch mit dem Wert null ist nicht definiert — deshalb zeigt der Rechner einen Fehler an, wenn Bruch B den Zähler 0 hat.
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben. Zum Kürzen teilen Sie beide durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Bei 8/12 ist der ggT 4, also 8/12 = 2/3. Gekürzte Brüche lassen sich leichter vergleichen und sind die Standardform, die in den meisten Mathematikkursen erwartet wird.
Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner (oder gleich groß), wie bei 5/4. Eine gemischte Zahl schreibt denselben Wert als ganzen Teil plus echten Bruch: 5/4 = 1 1/4. Beide Formen sind korrekt; gemischte Zahlen sind im Alltag leichter zu lesen, während sich mit unechten Brüchen leichter rechnen lässt.
Schreiben Sie die Dezimalzahl über eine Zehnerpotenz und kürzen Sie: 0,75 = 75/100 = 3/4. Dieser Rechner verwendet die Kettenbruchmethode, die den besten Bruch mit einem Nenner bis 10.000 findet — dadurch verarbeitet er auch periodische Dezimalzahlen gut und macht aus 0,333333 den Bruch 1/3 statt eines unhandlichen 333333/1000000.
Jede endliche oder periodische Dezimalzahl ist eine rationale Zahl und hat einen exakten Bruch. Irrationale Zahlen wie Pi oder die Quadratwurzel aus 2 haben keinen — für sie ist jeder Bruch nur eine Näherung. Der Rechner kennzeichnet Ergebnisse als Näherung, wenn kein Bruch mit einem Nenner bis 10.000 exakt zur Dezimalzahl passt.