Үнэгүй бутархай тооцоолуур. Бутархайг нэмэх, хасах, үржих, хуваах, хамгийн бага гишүүнд хялбарчлах, бутархай ба аравтын бутархай хооронд хөрвүүлэх.
Бутархай тооцоолуур нь бутархайг нэмэх, хасах, үржих, хуваах бөгөөд үр дүнг хамгийн бага гишүүнд хялбарчилсан, холимог тоо, аравтын бутархай гэсэн гурван хэлбэрээр буцаадаг. Бутархай нэмэхийн тулд эхлээд хуваарийг нь ижилсгэнэ: 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4. Хуваахын тулд хоёр дахь бутархайн урвуу тоогоор үржинэ.
Сүүлд шинэчлэгдсэн:
Бутархай тооцоолуур
Бутархай тооцоолуур нь бутархай дээр дөрвөн үндсэн үйлдэл гүйцэтгэж, хариугаа үргэлж гурван ашигтай хэлбэрээр буцаадаг: хамгийн бага гишүүнд хялбарчилсан бутархай, үр дүн нь зөв бус бол холимог тоо, мөн аравтын бутархай. Бутархай гэдэг нь босоо бичсэн хуваалт л юм — 3/4 гэдэг нь 3-ыг 4-т хуваасан гэсэн үг — тоолуур нь дээр, хуваарь нь доор.
Үржих нь хамгийн хялбар үйлдэл: тоолуурыг тоолуураар, хуваарийг хуваариар үржинэ. Тиймээс 2/3 × 3/5 = 6/15, энэ нь 2/5 болж хялбарчлагдана. Хуваах нь хоёр дахь бутархайг эргүүлж үржүүлснээр хийгддэг: 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 4/6 = 2/3. Нэмэх, хасах үйлдэлд нэг нэмэлт алхам шаардагддаг — нийтлэг хуваарь — энэ нь ихэнх алдаа гардаг газар бөгөөд тооцоолуурын алхам алхмаар зөвлөгөө хамгийн хэрэгтэй хэсэг юм.
Нийтлэг хуваарь
Алдаа: 1/2 + 3/4-ийг (1+3)/(2+4) = 4/6 гэж нэмэх. Энэ хариулт буруу, учир нь хагас ба дөрөвний нэг нь өөр хэмжээтэй хэсгүүд — тэдгээрийг ижил нэгжид оруулахгүй бол хамтад нь тоолж болохгүй.
Зөв тооцоо: эхлээд хоёр бутархайг нийтлэг хуваарьт оруулна. Хагас нь дөрөвний нэг болно: 1/2 = 2/4. Одоо хэсгүүд таарч байгаа тул 2/4 + 3/4 = 5/4, энэ нь 1 1/4 холимог тоо буюу 1.25 аравтын бутархай юм. Тооцоолуур нь хоёр хуваарийн үржвэрийг нийтлэг хуваарь болгон ашиглаад дараа нь үр дүнг хялбарчилдаг бөгөөд энэ нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр ашигласантай яг ижил эцсийн хариу гаргадаг.
Хасах ч мөн адил дүрмээр хийгддэг: 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12. Нийтлэг хуваарь нь дундын тоог томруулж болзошгүй тул хялбарчилсан хэлбэрийг тооцооны дундаас таамаглахын оронд үргэлж эцэст нь хялбарчлаарай.
Хамгийн бага гишүүн
Тоолуур, хуваарь нь 1-ээс их нийтлэг үржигдэхүүнгүй байвал бутархай бүрэн хялбарчлагдсан гэж үзнэ. Үүнд хүрэх найдвартай арга бол хоёуланг нь хамгийн их нийтлэг хуваагчид (ХИНХ) хуваах. 8/12-ийн хувьд 8, 12-ын ХИНХ нь 4, тиймээс 8/12 = 2/3. 45/60-ийн ХИНХ нь 15, тиймээс 3/4 гарна.
Хялбарчлах нь бутархайн утгыг хэзээ ч өөрчилдөггүй — 8/12, 4/6, 2/3 нь бүгд яг ижил тоо — зөвхөн тоог хэрхэн бичихийг өөрчилдөг. Хамгийн бага гишүүн нь стандарт эцсийн хэлбэр байдаг, учир нь бутархайг харьцуулахад хялбар болгодог: 2/3 нь 3/5-аас том гэдгийг нэг харцаар харах нь 40/60-ыг 36/60-тай харьцуулахаас хамаагүй хялбар. Сөрөг тэмдгийг ердийн байдлаар тоолуур дээр бичдэг, тиймээс 3/−4 нь −3/4 болно.
ХИНХ-ийг гараар олох хурдан арга бол Эвклидийн алгоритм: их тоог бага тоонд хуваасны үлдэгдлээр байнга сольж, үлдэгдэл тэг болтол давтана. 8, 12-ын хувьд: 12 ÷ 8 нь 4 үлдэгдэлтэй, дараа нь 8 ÷ 4 нь 0 үлдэгдэлтэй тул ХИНХ нь 4. Тооцоолуур тоо хэдий их байсан ч энэ ижил алгоритмыг шууд хэрэглэдэг.
Холимог тоо
Тооцооны үр дүнд тоолуур нь хуваартай ядаж тэнцүү бол — 5/4 эсвэл 11/3 гэх мэт зөв бус бутархай — үүнийг холимог тоо болгож дахин бичиж болно: бүхэл хэсэг нэмэх зөв бутархай. Тоолуурыг хуваарьт хуваана; хуваалтын үр дүн бол бүхэл хэсэг, харин үлдэгдэл нь ижил хуваарьт үлддэг. Тиймээс 5/4 = 1 1/4, 11/3 = 3 2/3.
Хоёр хэлбэр аль аль нь математикийн хувьд зөв. Холимог тоо нь өдөр тутмын хэмжилтэд байгалийн жамаар илүү тохиромжтой — жор нь 3/2 аяга биш 1 1/2 аяга гэж хэлдэг — харин зөв бус бутархай нь тооцооны дотор ашиглахад хамаагүй тохиромжтой, учир нь холимог тоог шууд үржүүлэх, хуваах нь алдаа гарахад амархан. Тооцоолохоос өмнө холимог тоог зөв бус бутархай болгон хувиргаад, зөвхөн эцэст нь холимог хэлбэрт буцааж хөрвүүлэх нь сайн арга бөгөөд энэ тооцоолуур яг үүнийг тань хийж өгдөг.
Аравтын бутархай
Дуусдаг ямар ч аравтын бутархайг арван зэргийн дээгүүр бичээд хялбарчилснаар бутархай болгож хөрвүүлж болно: 0.75 = 75/100 = 3/4, мөн 0.125 = 125/1000 = 1/8. Давтагддаг аравтын бутархай ч мөн яг таг бутархай юм — 0.333… нь яг 1/3, 0.1666… нь яг 1/6 — гэхдээ арван зэргийн арга нь тасалсан оролтоос эдгээрийг олж чаддаггүй.
Тиймээс энэ тооцоолуур тасралтгүй бутархайн алгоритмыг ашигладаг: энэ нь 10,000 хүртэлх хуваартай хамгийн зохимжтой бутархайг олдог тул 0.333333 гэж бичихэд 333333/1000000 биш 1/3 гарч ирдэг, 0.142857 нь өнгөлөг 1/7 болж буцаж ирдэг. Ижил арга нь огт бутархайгүй иррационал тоонд ч компакт, утга учиртай ойролцоо тоо өгдөг. 10,000 хүртэлх хуваартай ямар ч бутархай яг таарахгүй бол тооцоолуур үр дүнг ойролцоо гэж тэмдэглэдэг.
Практик хэрэглээ
Хоол хийх, жин барих
Жорыг томруулах эсвэл багасгах — 3/4 аягын хагас, эсвэл 2/3 аягыг 1 1/2 дахин — хэмжилтийн алдаагүйгээр.
Модон эдлэл, өөрөө хийх ажил
Материал огтлох, засал хийхэд 3/8 инч + 5/16 инч зэрэг хэмжлийг нэмэх.
Гэрийн даалгавар шалгах
Бутархайн арифметикийн алхам бүрийг, нийтлэг хуваарь болон хялбарчилсан эцсийн хариуг оруулаад шалгах.
Хэмжилт хөрвүүлэх
Тоон штангенциркуль эсвэл тооцоолуураас гарсан аравтын бутархайг хэмжих зурваст хэрэглэдэг бутархай болгож буцааж хөрвүүлэх.
Хэмжээ хуваах
Хэсэг, материал, эсвэл цагийг тэнцүү бутархай хэсгүүдэд хуваан үр дүнг тодорхой илэрхийлэх.
Хоёр бутархайг нийтлэг хуваарьт оруулаад дараа нь тоолуурыг нь нэмэх эсвэл хасах. 1/2 + 3/4-ийн хувьд нийтлэг хуваарь нь 4: 1/2 нь 2/4 болно, тиймээс 2/4 + 3/4 = 5/4, энэ нь 1 1/4 гэсэн холимог тоо болж хялбарчлагдана. Тооцоолуур нь хуваарь хоёрын үржвэрийг ашиглаад дараа нь үр дүнг автоматаар хамгийн бага гишүүнд хялбарчилдаг.
Эхний бутархайг хоёр дахийн урвуу (эргүүлсэн) хэлбэрээр үржүүлнэ. Жишээ нь 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 4/6, энэ нь 2/3 болж хялбарчлагдана. Тэгтэй тэнцэх бутархай дээр хуваах нь тодорхойгүй тул Бутархай B-ийн тоолуур 0 бол тооцоолуур алдаа заана.
Бутархайн тоолуур, хуваарь хоёр нь 1-ээс өөр нийтлэг үржигдэхүүнгүй байвал энэ бутархай хамгийн бага гишүүнд байна гэсэн үг. Хялбарчлахын тулд хоёуланг нь хамгийн их нийтлэг хуваагчид (ХИНХ) хуваана. 8/12-ийн хувьд ХИНХ нь 4, тиймээс 8/12 = 2/3. Хялбарчилсан бутархай нь харьцуулахад хялбар бөгөөд ихэнх математикийн хичээлд стандарт хэлбэр гэж тооцогддог.
Зөв бус бутархайн тоолуур нь хуваараас их (эсвэл тэнцүү) байдаг, жишээ нь 5/4. Холимог тоо нь тэр ижил утгыг бүхэл хэсэг нэмэх зөв бутархай хэлбэрээр бичдэг: 5/4 = 1 1/4. Хоёулаа зөв — холимог тоо нь өдөр тутмын хэрэглээнд уншихад хялбар, харин зөв бус бутархай нь тооцоо хийхэд хялбар.
Аравтын бутархайг арван зэргийн дээгүүр бичээд хялбарчил: 0.75 = 75/100 = 3/4. Энэ тооцоолуур нь тасралтгүй бутархайн аргыг ашигладаг бөгөөд энэ нь 10,000 хүртэлх хуваартай хамгийн зохимжтой бутархайг олдог — тиймээс давтагдах аравтын бутархайг ч сайн боловсруулж, 0.333333-г 333333/1000000 гэсэн эвгүй тоо биш 1/3 болгодог.
Дуусдаг эсвэл давтагддаг аравтын бутархай бүр рационал тоо бөгөөд яг таг бутархайтай байдаг. Пи буюу 2-ын квадрат язгуур зэрэг иррационал тоонд тийм биш — тэдгээрийн хувьд ямар ч бутархай зөвхөн ойролцоо утга л байдаг. 10,000 хүртэлх хуваартай ямар ч бутархай яг таарахгүй бол тооцоолуур үр дүнг ойролцоо гэж тэмдэглэдэг.